بهینه‌سازی پرتفوی میانگین واریانس مارکوویتز که به مدل مارکویتز یا نظریه مدرن پورتفولیو نیز معروف است، یک چارچوب ریاضی است که توسط هری مارکویتز برنده جایزه نوبل در سال 1952 ایجاد شد. هدف این مدل با ترکیب بهینه دارایی‌ها در یک سبد، حداکثر کردن بازده و مدیریت ریسک است. بر اساس این ایده است که ریسک پرتفوی نه تنها به ریسک های فردی دارایی های تشکیل دهنده آن بلکه به همبستگی آنها نیز بستگی دارد.
مفاهیم اصلی مدل مارکویتز عبارتند از:
1. بازده مورد انتظار: مدل فرض می کند که سرمایه گذاران نگران بازده مورد انتظار پرتفوی خود هستند که با میانگین توزیع بازده های احتمالی نمایش داده می شود.
2. ریسک (انحراف استاندارد): این مدل ریسک را به عنوان انحراف استاندارد بازده پرتفوی اندازه گیری می کند که نشان دهنده پراکندگی نتایج احتمالی حول بازده مورد انتظار است.
3. ضرایب همبستگی: مدل ضرایب همبستگی بین بازده دارایی های مختلف در پرتفوی را در نظر می گیرد. همبستگی مثبت نشان می دهد که بازده دو دارایی تمایل به حرکت با هم دارند، در حالی که همبستگی منفی نشان می دهد که بازده در جهت مخالف حرکت می کند.
4. مرز کارآمد: مرز کارآمد مجموعه ای از پرتفوی است که بالاترین بازده مورد انتظار را برای سطح معینی از ریسک ارائه می دهد. این پرتفوی ها کارآمد در نظر گرفته می شوند زیرا نمی توان آنها را بدون افزایش ریسک یا کاهش بازده مورد انتظار بهبود بخشید.
5. خط بازار سرمایه (CML): CML خط مستقیمی است که نرخ بازده بدون ریسک و پرتفوی بازار را در مرز کارآمد به هم متصل می کند. این مبادله بهینه بین ریسک و بازده را برای یک سرمایه گذار منطقی نشان می دهد.
مدل مارکوویتز به طور گسترده ای در مدیریت مالی و سرمایه گذاری برای ایجاد پرتفوی های متنوعی که ریسک و پاداش را متعادل می کند، استفاده می شود. این پایه و اساس چندین پیشرفت بعدی در نظریه پورتفولیو، از جمله مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه (CAPM) و مدل های چند عاملی را تشکیل داده است.
رابطه ریاضی و روش محاسبه پرتفوی میانگین واریانس مارکویتز
بهینه‌سازی پرتفوی میانگین واریانس مارکوویتز، که به عنوان نظریه مدرن پورتفولیو (MPT) نیز شناخته می‌شود، یک چارچوب ریاضی برای ایجاد مجموعه‌ای از دارایی‌ها است که ضمن مدیریت ریسک، بازده را به حداکثر می‌رساند. این نظریه که توسط هری مارکوویتز در سال 1952 ابداع شد، بر اهمیت تنوع در کاهش ریسک پرتفوی تاکید می کند. در اینجا مولفه های کلیدی درگیر در محاسبه مدل مارکوویتز آورده شده است:
1. ورودی ها: ورودی های مورد نیاز برای مدل مارکوویتز عبارتند از:
– بازده مورد انتظار (µ): میانگین بازده تخمینی برای هر دارایی در پرتفوی.
– انحراف استاندارد (σ): اندازه گیری تغییرپذیری یا ریسک مرتبط با بازده هر دارایی.
– ماتریس کوواریانس (Σ): ماتریسی حاوی ضرایب همبستگی بین هر جفت دارایی.
2. خروجی: خروجی اولیه مدل مارکوویتز مرز کارآمد است که مجموعه پرتفوی هایی را نشان می دهد که بالاترین بازده مورد انتظار را برای سطح معینی از ریسک ارائه می دهند. این پورتفولیوها کارآمد تلقی می شوند زیرا هیچ پرتفوی دیگری نمی تواند بازدهی بالاتر با همان سطح ریسک یا ریسک کمتری با همان سطح بازدهی را ارائه دهد.
3. روش محاسبه: مدل مارکوویتز شامل حل یک مسئله بهینه سازی درجه دوم برای یافتن وزن های بهینه پرتفوی است. هدف به حداقل رساندن واریانس پورتفولیو (معیار ریسک) با توجه به محدودیت‌های خاص، مانند حفظ سطح هدف از بازده مورد انتظار است. وزن پرتفوی حاصل، نسبت هر دارایی برای نگهداری در پرتفوی را نشان می دهد.
در اینجا یک نمای کلی از مراحل مربوط به فرآیند محاسبه آورده شده است:
1. بازده مورد انتظار (µ) را برای هر دارایی در پورتفولیو محاسبه کنید.
2. انحراف استاندارد (σ) را برای هر دارایی محاسبه کنید.
3. تعیین ماتریس کوواریانس (Σ) برای پورتفولیو، که شامل ضرایب همبستگی بین هر جفت دارایی است.
4. محدودیت ها را تعریف کنید، مانند بازده مورد انتظار هدف یا حداقل سطح قابل قبول ریسک.
5-مسئله بهینه سازی درجه دوم را برای بدست آوردن وزن های بهینه پورتفولیو فرموله و حل کنید.
با یافتن وزن‌های بهینه پرتفوی، مدل مارکوویتز، سرمایه‌گذاران را قادر می‌سازد تا پرتفویی بسازند که بازده را به حداکثر برساند و در عین حال ریسک را به طور مؤثر مدیریت کند.